Πτολεμαίος 1ο μέρος

Η πρώτη καταγεγραμμένη προσπάθεια απόδειξης του 5ου αιτήματος ανήκει στον Πτολεμαίο (~2ος π.Χ) :

Ξεκίνησε αποδεικνύοντας πρώτα την πρόταση 28 του Ευκλείδη.

Πρόταση 28: Αν ευθεία που τέμνει δύο ευθείες σχηματίζει την εκτός γωνία ίση με την εντός, απέναντι και επί τα αυτά μέρη, ή τις εντός και επί τα αυτά μέρη ίσες με δύο ορθές, τότε οι δύο ευθείες θα είναι παράλληλες μεταξύ τους.

( Ο Ευκλείδης το απέδειξε χωρίς τη χρήση του 5ου αιτήματος)

Έστω δύο ευθείες ΑΒ, ΓΔ και η ΕΖΗΘ τις τέμνει ώστε :

Έστω ότι η ΖΒ τέμνει την ΗΔ στο Κ.

Αφού

   και 

έπεται ότι

Όμως αφού ΖΒ και ΗΔ τέμνονται θα τέμνονται και οι ΖΑ, ΓΗ,έστω στο Λ, που σχηματίζουν επίσης γωνίες ίσες με 2 ορθές και δεν είναι λιγότερο παράλληλες από τις ΖΒ και ΗΔ.

Επομένως οι ευθείες ΑΒ, ΓΔ τέμνονται σε δύο σημεία. Άτοπο!!

Άρα οι ΑΒ, ΓΔ είναι παράλληλες.