Δευτέρα 23 Νοεμβρίου 2009

Πτολεμαίος 3ο μέρος

Τέλος αποδεικνύει το 5ο Αίτημα. Σημειώστε ότι για τις αποδείξεις των Προτάσεων 28,29 ο Πτολεμαίος δεν χρησιμοποίησε το 5ο Αίτημα (έτσι τουλάχιστον ισχυρίστηκε).
Απόδειξη 5ου Αιτήματος:
Έστω δύο ευθείες που τέμνονται από τρίτη σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες μικρότερες από δύο ορθές, και έστω ότι δεν τέμνονται από εκείνη τη μεριά.
Αν όμως δεν τέμνονται από την μεριά όπου οι εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες είναι μικρότερες από δύο ορθές, ακόμα περισσότερο δεν θα τέμνονται και από την άλλη μεριά όπου οι εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες είναι μεγαλύτερες από δύο ορθές.
Άρα οι ευθείες αυτές δεν τέμνονται και είναι παράλληλες.
Όμως από Πρόταση 29 οι εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες είναι ίσες με δύο ορθές. Άτοπο!!!
Άρα οι ευθείες τέμνονται απ' τη μεριά όπου οι εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες είναι μικρότερες από δύο ορθές.

Μετά ο Πτολεμαίος δίνει μια απόδειξη για το παραπάνω συμπέρασμά του ότι :"...ακόμα περισσότερο δεν θα τέμνονται ... μεγαλύτερες από δύο ορθές", η οποία δεν θα μας απασχολήσει .

Τελικά που έκανε λάθος ο Πτολεμαίος;
Ξέρουμε σήμερα ότι το λάθος όλων των μαθηματικών οι οποίοι προσπάθησαν να αποδείξουν το 5ο Αίτημα ήταν ότι εν αγνοία τους χρησιμοποιούσαν στις αποδείξεις τους το 5ο Αίτημα σε μία ισοδύναμη μορφή του.
Το λάθος του Πτολεμαίου βρίσκεται στην απόδειξη της Π29. Η υπόθεσή του ότι οι ΕΑ, ΖΓ δεν είναι περισσότερο παράλληλες από τις ΕΒ, ΖΔ εμπεριέχει την υπόθεση ότι από κάθε σημείο μόνο μια παράλληλη μπορούμε να φέρουμε προς μια δεδομένη ευθεία η οποία είναι ισοδύναμη με το Α5

Κυριακή 22 Νοεμβρίου 2009

Πτολεμαίος 2ο μέρος

Έπειτα ο Πτολεμαίος επιχείρησε να αποδείξει την Πρόταση 29 χωρίς το 5ο Αίτημα.
Πρόταση 29 : Η ευθεία που τέμνει δύο παράλληλες ευθείες σχηματίζει τις εναλλάξ γωνίες ίσες μεταξύ τους, την εκτός γωνία ίση με την εντός και απέναντι και τις εντός και επί τα αυτά μέρη ίσες με δύο ορθές.
(Εδώ ο Ευκλείδης χρησιμοποίησε το 5ο Αίτημα)

Έστω ΑΒ, ΓΔ παράλληλες, και μία ευθεία που τις τέμνει στα Ε και Ζ αντίστοιχα.
Τότε το άθροισμα των εντός και επί ταυτά μέρη θα είναι μικρότερο, μεγαλύτερο ή ίσο με δύο ορθές.

Έστω \hat{AEZ} +\hat{\Gamma ZE} >2\bot .
Δηλαδή οι παράλληλες ΕΑ, ΖΓ τεμνόμενες από τρίτη ευθεία σχηματίζουν εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες μεγαλύτερες από 2 ορθές. 
Όμως οι ΕΑ, ΖΓ δεν είναι περισσότερο παράλληλες από τις ΕΒ, ΖΔ.
Άρα \hat{BEZ} +\hat{EZ\Delta}\ \> \ 2\bot  . Άτοπο! Αφού \hat{AEZ} +\hat{\Gamma ZE}+ \hat{BEZ} +\hat{EZ\Delta} =4\bot.
Όμοια αν \hat{AEZ} +\hat{\Gamma ZE}<2\bot.
Άρα \hat{AEZ} +\hat{\Gamma ZE}=2\bot.
Στα υπόλοιπα καταλήγουμε με απλούς συλλογισμούς.

Δευτέρα 16 Νοεμβρίου 2009

Πτολεμαίος 1ο μέρος

http://1.bp.blogspot.com/_IpMK6Ugbbxk/SviLNi5s9dI/AAAAAAAAA38/kuaOVJEKvto/s200/Ptolemaeus.jpg
Η πρώτη καταγεγραμμένη προσπάθεια απόδειξης του 5ου αιτήματος ανήκει στον Πτολεμαίο (~2ος π.Χ) :


Ξεκίνησε αποδεικνύοντας πρώτα την πρόταση 28 του Ευκλείδη.
Πρόταση 28: Αν ευθεία που τέμνει δύο ευθείες σχηματίζει την εκτός γωνία ίση με την εντός, απέναντι και επί τα αυτά μέρη, ή τις εντός και επί τα αυτά μέρη ίσες με δύο ορθές, τότε οι δύο ευθείες θα είναι παράλληλες μεταξύ τους.
( Ο Ευκλείδης το απέδειξε χωρίς τη χρήση του 5ου αιτήματος)

Έστω δύο ευθείες ΑΒ, ΓΔ και η ΕΖΗΘ τις τέμνει ώστε : \hat{BZH} + \hat{ZH\Delta}=2\bot
Έστω ότι η ΖΒ τέμνει την ΗΔ στο Κ.


Αφού \hat{BZH} + \hat{ZH\Delta}=2\bot
   και \hat{BZH} + \hat{ZH\Delta}+\hat{AZH}+\hat{ZH\Gamma}=4\bot
έπεται ότι \hat{AZH}+\hat{ZH\Gamma}=2\bot
Όμως αφού ΖΒ και ΗΔ τέμνονται θα τέμνονται και οι ΖΑ, ΓΗ,έστω στο Λ, που σχηματίζουν επίσης γωνίες ίσες με 2 ορθές και δεν είναι λιγότερο παράλληλες από τις ΖΒ και ΗΔ.
Επομένως οι ευθείες ΑΒ, ΓΔ τέμνονται σε δύο σημεία. Άτοπο!!
Άρα οι ΑΒ, ΓΔ είναι παράλληλες.


Δευτέρα 9 Νοεμβρίου 2009

Τα Αιτήματα

Καλως ηλθατε


Η ιστορία μας θα ξεκινήσει από τα 5 αιτήματα του Ευκλείδη, τα οποία λανθασμένα συνήθως συγχέονται με τα αξιώματά του.


AITHMATA
1. Αιτούμε από κάθε σημείο προς κάθε σημείο να μπορεί να αγχθεί ευθεία γραμμή.
2. Και κάθε πεπερασμένη ευθεία να μπορεί να προεκτείνεται συνεχώς ευθύγραμμα.
3. Και με κάθε κέντρο και κάθε διάστημα να γράφεται κύκλος.
4. Και όλες τις ορθές γωνίες να είναι ίσες μεταξύ τους.
5. Και εάν σε δύο ευθείες που τέμνονται από άλλη ευθεία οι εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες είναι μικρότερες των δύο ορθών, αιτούμε οι δύο ευθείες που προεκτείνονται στο άπειρο να τέμνονται προς τα μέρη που σχηματίζονται οι μικρότερες των δύο ορθών γωνίες.


Ειναί προφανής η διαφορά του 5ου αιτήματος από τα υπόλοιπα ως προς την απλότητά του. Αυτό έκανε πολλούς μαθηματικούς, για περίπου 2000 χρόνια, να το θεωρούν ως πρόταση που μπορεί να αποδειχθεί από τα υπόλοιπα 4 αιτήματα. Οι προσπάθειές τους ήταν αυτές που τελικά οδήγησαν στην ανακάλυψη νέων γεωμετριών.