Πρόταση 29 : Η ευθεία που τέμνει δύο παράλληλες ευθείες σχηματίζει τις εναλλάξ γωνίες ίσες μεταξύ τους, την εκτός γωνία ίση με την εντός και απέναντι και τις εντός και επί τα αυτά μέρη ίσες με δύο ορθές.
(Εδώ ο Ευκλείδης χρησιμοποίησε το 5ο Αίτημα)
Έστω ΑΒ, ΓΔ παράλληλες, και μία ευθεία που τις τέμνει στα Ε και Ζ αντίστοιχα.
Τότε το άθροισμα των εντός και επί ταυτά μέρη θα είναι μικρότερο, μεγαλύτερο ή ίσο με δύο ορθές.
Τότε το άθροισμα των εντός και επί ταυτά μέρη θα είναι μικρότερο, μεγαλύτερο ή ίσο με δύο ορθές.
Έστω 
.
Δηλαδή οι παράλληλες ΕΑ, ΖΓ τεμνόμενες από τρίτη ευθεία σχηματίζουν εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες μεγαλύτερες από 2 ορθές.
Όμως οι ΕΑ, ΖΓ δεν είναι περισσότερο παράλληλες από τις ΕΒ, ΖΔ.
Άρα 
. Άτοπο! Αφού 
.
Όμοια αν 
.
Άρα 
.
Στα υπόλοιπα καταλήγουμε με απλούς συλλογισμούς.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου