Πτολεμαίος 3ο μέρος

Τέλος αποδεικνύει το 5ο Αίτημα. Σημειώστε ότι για τις αποδείξεις των Προτάσεων 28,29 ο Πτολεμαίος δεν χρησιμοποίησε το 5ο Αίτημα (έτσι τουλάχιστον ισχυρίστηκε).
Απόδειξη 5ου Αιτήματος:
Έστω δύο ευθείες που τέμνονται από τρίτη σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες μικρότερες από δύο ορθές, και έστω ότι δεν τέμνονται από εκείνη τη μεριά.
Αν όμως δεν τέμνονται από την μεριά όπου οι εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες είναι μικρότερες από δύο ορθές, ακόμα περισσότερο δεν θα τέμνονται και από την άλλη μεριά όπου οι εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες είναι μεγαλύτερες από δύο ορθές.
Άρα οι ευθείες αυτές δεν τέμνονται και είναι παράλληλες.
Όμως από Πρόταση 29 οι εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες είναι ίσες με δύο ορθές. Άτοπο!!!
Άρα οι ευθείες τέμνονται απ' τη μεριά όπου οι εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες είναι μικρότερες από δύο ορθές.

Μετά ο Πτολεμαίος δίνει μια απόδειξη για το παραπάνω συμπέρασμά του ότι :"...ακόμα περισσότερο δεν θα τέμνονται ... μεγαλύτερες από δύο ορθές", η οποία δεν θα μας απασχολήσει .

Τελικά που έκανε λάθος ο Πτολεμαίος;
Ξέρουμε σήμερα ότι το λάθος όλων των μαθηματικών οι οποίοι προσπάθησαν να αποδείξουν το 5ο Αίτημα ήταν ότι εν αγνοία τους χρησιμοποιούσαν στις αποδείξεις τους το 5ο Αίτημα σε μία ισοδύναμη μορφή του.
Το λάθος του Πτολεμαίου βρίσκεται στην απόδειξη της Π29. Η υπόθεσή του ότι οι ΕΑ, ΖΓ δεν είναι περισσότερο παράλληλες από τις ΕΒ, ΖΔ εμπεριέχει την υπόθεση ότι από κάθε σημείο μόνο μια παράλληλη μπορούμε να φέρουμε προς μια δεδομένη ευθεία η οποία είναι ισοδύναμη με το Α5